यह समस्या दो भिन्न गुणोत्तर श्रेणियों (GPs) के पदों के बीच संबंध खोजने से संबंधित है जिनके प्रथम पद समान हैं लेकिन उनके भिन्न पद समान मान के बराबर हैं। हम प्रत्येक GP के लिए दी गई शर्तों के आधार पर समीकरण स्थापित करके और निर्दिष्ट समान पदों की तुलना करके इसे हल करते हैं।

प्रथम GP के लिए, जिसका प्रथम पद $$a$$ और तीसरा पद $$b$$ है:

तीसरा पद $$t_3 = ar^2 = b$$ द्वारा दिया जाता है, जिससे $$r^2 = \frac{b}{a}$$ प्राप्त होता है।
ग्यारहवाँ पद $$t_{11} = ar^{10} = a\left(\frac{b}{a}\right)^5$$ है।

दूसरी GP के लिए, जिसका प्रथम पद $$a$$ और पाँचवाँ पद $$b$$ है:

पाँचवाँ पद $$T_5 = ar^4 = b$$ है, जिससे $$r^4 = \frac{b}{a}$$ और $$r = \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4}$$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार $$p^{\text{वाँ}}$$ पद $$T_p = ar^{p-1} = a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$$ है।

प्रथम GP के ग्यारहवें पद को दूसरी GP के $$p^{\text{वें}}$$ पद के बराबर रखने पर: $$a\left(\frac{b}{a}\right)^5 = a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$$ प्राप्त होता है।

सरलीकरण करने पर, हम पाते हैं कि $$5 = \frac{p-1}{4}$$, जिससे $$p = 21$$ प्राप्त होता है, जो कि हल है।

Sequences And Series

Continue this paper

Similar Sequences And Series PYQs

More practice from this question