फलन $$f(x) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{(4-x^2)}+\log_{10}(x^2+2x-15)$$ का प्रांत ज्ञात करने के लिए, हमें वर्गमूल फलन और लघुगणकीय फलन दोनों के लिए प्रांत की शर्तों पर विचार करना होगा।

वर्गमूल फलन $\sqrt{x^2-25}$ के लिए आवश्यक है कि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक हो, इसलिए $$x^2 - 25 \geq 0.$$ यह असमिका संतुष्ट होती है जब $$x \leq -5 \quad \text{या} \quad x \geq 5.$$

$f(x)$ के परिमेय भाग का हर, $(4-x^2)$, शून्य नहीं हो सकता, अन्यथा शून्य से भाग के कारण फलन अपरिभाषित हो जाएगा। अतः, हमें चाहिए $$4 - x^2 \neq 0.$$ यह शर्त उल्लंघित होती है जब $$x = \pm2.$$

इन शर्तों को मिलाने पर हमें फलन के परिमेय भाग के लिए प्रांत मिलता है: $$x \in (-\infty, -5] \cup (5, \infty) \quad \text{और} \quad x \neq 2,-2.$$

लघुगणकीय फलन $\log_{10}(x^2+2x-15)$ की ओर बढ़ते हुए, इसके अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $$x^2 + 2x - 15 > 0.$$ यह एक द्विघात असमिका है, जिसे हम गुणनखंडित करके हल कर सकते हैं: $$(x+5)(x-3) > 0.$$ इससे, हम देखते हैं कि असमिका संतुष्ट होती है जब $$x < -5 \quad \text{या} \quad x > 3.$$

$f(x)$ का संपूर्ण प्रांत प्रत्येक भाग के प्रांतों का प्रतिच्छेदन है। दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन लेने पर हमें मिलता है: $$x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty),$$

चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि प्रांत $(-\infty, \alpha) \cup [\beta, \infty)$ के रूप में है, हम अनुमान लगा सकते हैं कि $$\alpha = -5 \quad \text{और} \quad \beta = 5.$$

हम $\alpha^2 + \beta^3$ की गणना निम्नानुसार करते हैं: $$\alpha^2 + \beta^3 = (-5)^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150.$$

इसलिए $\alpha^2$ और $\beta^3$ के योग को दर्शाने वाला सही उत्तर है: विकल्प D $150$।

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