सबसे पहले, आइए दिए गए बीटा फलन के रूप का उपयोग करके दिए गए समाकलन को पुनः लिखें। दिया गया समाकलन है:

$$\int_\limits0^1\left(1-x^{10}\right)^{20} \mathrm{~d} x$$

बीटा फलन का उपयोग करने के लिए, आइए एक प्रतिस्थापन करें। मान लें $ x^{10} = t $। तब, $ dx = \frac{1}{10}t^{-\frac{9}{10}} dt $ या $ dx = \frac{1}{10} t^{-\frac{9}{10}} dt $। समाकलन की सीमाएँ निम्नानुसार परिवर्तित होती हैं: जब $ x = 0 $, $ t = 0 $, और जब $ x = 1 $, $ t = 1 $।

इन्हें समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$\int_\limits0^1 (1 - t)^{20} \cdot \frac{1}{10} t^{-\frac{9}{10}} dt$$

जो सरल होकर बन जाता है:

$$\frac{1}{10} \int_\limits0^1 (1 - t)^{20} t^{-\frac{9}{10}} dt$$

हम इस समाकलन को बीटा फलन $ \beta(m, n) $ के रूप में पहचानते हैं जहाँ $ m = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} $ और $ n = 20 + 1 = 21 $।

इसलिए, हम इसे निम्नानुसार लिख सकते हैं:

$$\frac{1}{10} \beta \left( \frac{1}{10}, 21 \right)$$

इसकी तुलना $ a \times \beta(b, c) $ से करने पर, हमें प्राप्त होता है $ a = \frac{1}{10} $, $ b = \frac{1}{10} $, और $ c = 21 $।

अब हम $ 100(a + b + c) $ की गणना करते हैं:

$$100 \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + 21 \right) = 100 \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + 21 \right) = 100 \left( \frac{1}{5} + 21 \right) = 100 \left( \frac{1}{5} + \frac{105}{5} \right) = 100 \left( \frac{106}{5} \right) = 100 \times 21.2 = 2120$$

अतः, उत्तर विकल्प D, 2120 है।

Definite Integration

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