JEE Advanced 2025 Paper 1 Online Mathematics - Permutations and Combinations Question 4 Hindi Explanation

समस्या का पुनः कथन: माना $R$, $X = \{a,b,c,d,e,f\}$ पर एक संबंध है।

हम चाहते हैं कि $R$ स्वतुल्य और सममित हो, और इसमें ठीक 10 अवयव हों।

माना $\mathcal{S} = \{R : R \text{ इसे संतुष्ट करता है}\}$। $|\mathcal{S}|$ ज्ञात कीजिए।

चरण 1. समष्टि का आकार

$|X| = 6$।

अतः $X \times X$ में $36$ क्रमित युग्म हैं।

चरण 2. स्वतुल्यता

स्वतुल्य का अर्थ है कि हमें सभी $(x,x)$ युग्मों को अवश्य शामिल करना होगा।

अतः 6 अवयव अनिवार्य हैं।

इसलिए $X$ पर कोई भी स्वतुल्य संबंध स्वतः ही निम्नलिखित को शामिल करता है:

$ \{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(f,f)\}. $

अतः हमारा स्वतुल्य संबंध 6 अवयवों के साथ शुरू होता है।

चरण 3. सममितता

विकर्ण के बाहर के अवयवों के लिए:

यदि हम $(x,y)$ (जहाँ $x \neq y$) को शामिल करते हैं, तो हमें $(y,x)$ को भी शामिल करना होगा।

अतः ये विकर्ण के बाहर के युग्म सममित युग्मों में आते हैं (प्रत्येक का आकार 2)।

$\binom{6}{2} = 15$ भिन्न अक्रमित युग्म $\{x,y\}$ हैं, प्रत्येक या तो $(x,y)$ और $(y,x)$ दोनों को शामिल करने, या दोनों को बाहर करने से संबंधित होगा। अतः इन्हें स्वतंत्र चुनावों के रूप में सोचें।

चरण 4. आवश्यक आकार

कुल आकार 10 होना चाहिए।

हमारे पास पहले से 6 विकर्ण युग्म हैं।

अतः हमें 4 और युग्मों की आवश्यकता है।

लेकिन प्रत्येक सममित युग्म 2 अवयवों का योगदान देता है।

अतः 4 अतिरिक्त प्राप्त करने के लिए, हमें ठीक 2 सममित युग्मों को शामिल करना होगा।

चरण 5. गणना

अक्रमित युग्मों की संख्या = 15।

हमें उनमें से 2 को शामिल करने के लिए चुनना होगा।

अतः कुल = $\binom{15}{2} = 105$।

अंतिम उत्तर:

$ |\mathcal{S}| = \boxed{105} $

Permutations And Combinations

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