इस समस्या को हल करने के लिए, हमें परमाणु क्रमांक $ Z $, अभिलाक्षणिक X-किरण तरंगदैर्घ्य, और X-किरण स्पेक्ट्रम में कट-ऑफ तरंगदैर्घ्य के बीच संबंध को समझना होगा।

कट-ऑफ तरंगदैर्घ्य, जिसे न्यूनतम तरंगदैर्घ्य ($ \lambda_{\text{min}} $) के रूप में भी जाना जाता है, उत्पादित X-किरणों की अधिकतम ऊर्जा से संबंधित है और इसे X-किरण नली में उपयोग किए गए त्वरक वोल्टेज से संबंधित किया जा सकता है। अभिलाक्षणिक X-किरणें, जैसे $ K_\alpha $-रेखा, परमाणु में विशिष्ट इलेक्ट्रॉन संक्रमणों से संबंधित होती हैं और लक्ष्य पदार्थ के परमाणु क्रमांक $ Z $ पर निर्भर करती हैं।

$ K_\alpha $-रेखा की तरंगदैर्घ्य मोज़ले के नियम द्वारा दी जाती है, जिसे इस प्रकार अनुमानित किया जा सकता है:

$$ \lambda_{K_\alpha} \propto \frac{1}{(Z - 1)^2} $$

कट-ऑफ तरंगदैर्घ्य आपतित इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा और उत्पादित X-किरण के बीच संबंध द्वारा दी जाती है:

$$ \lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eV} $$

अब, $ Z = 46 $ वाले प्रथम धातु लक्ष्य के लिए दिया गया अनुपात $ r $ है:

$$ r = \frac{\lambda_{K_\alpha}}{\lambda_{\text{min}}} = 2 $$

$ Z = 41 $ वाले द्वितीय धातु लक्ष्य के लिए, आइए नए अनुपात को $ r_2 $ के रूप में निरूपित करें। हम समान कट-ऑफ तरंगदैर्घ्य मानते हैं क्योंकि समान इलेक्ट्रॉन पुंज का उपयोग किया जाता है।

$ Z = 41 $ के लिए अनुपात की गणना $ K_\alpha $-रेखा तरंगदैर्घ्य के बीच संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

$$ \frac{\lambda_{K_\alpha (1)}}{\lambda_{K_\alpha (2)}} = \left( \frac{Z_2 - 1}{Z_1 - 1} \right)^2 $$

$ Z_1 = 46 $ और $ Z_2 = 41 $ प्रतिस्थापित करने पर:

$$ \frac{\lambda_{K_\alpha (1)}}{\lambda_{K_\alpha (2)}} = \left( \frac{41 - 1}{46 - 1} \right)^2 = \left( \frac{40}{45} \right)^2 = \left( \frac{8}{9} \right)^2 = \frac{64}{81} $$

मान लीजिए $ \lambda_{K_\alpha (1)} = 2 \lambda_{\text{min}} $ क्योंकि $ r = 2 $ है। अतः:

$$ \lambda_{K_\alpha (2)} = \lambda_{K_\alpha (1)} \cdot \frac{81}{64} = 2 \lambda_{\text{min}} \cdot \frac{81}{64} $$

इस प्रकार, नया अनुपात $ r_2 $ है:

$$ r_2 = \frac{\lambda_{K_\alpha (2)}}{\lambda_{\text{min}}} = 2 \cdot \frac{81}{64} = \frac{162}{64} = 2.53 $$

अतः, $ Z = 41 $ वाले द्वितीय धातु लक्ष्य के लिए $ r $ का मान है:

विकल्प A: 2.53

Dual Nature Of Radiation

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