हमें एक पक्षपाती सिक्का दिया गया है जिसमें चित (H) आने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है और इस प्रकार, पट (T) आने की प्रायिकता $\frac{2}{3}$ है (क्योंकि चित या पट में से कोई एक आने की कुल प्रायिकता का योग 1 होना चाहिए)।

इस प्रयोग में इस सिक्के को तब तक बार-बार उछाला जाता है जब तक कि हमें लगातार दो समान परिणाम प्राप्त न हो जाएं। हम उस स्थिति में रुचि रखते हैं जहां प्रयोग लगातार दो चित के साथ समाप्त होता है।

आइए सिक्के के उछाल के अनुक्रमों के लिए दो विभिन्न परिदृश्यों पर विचार करें:

वे अनुक्रम जो एक चित से शुरू होते हैं और HH के साथ समाप्त होते हैं (जैसे HH, HTHH, HTHTHH, इत्यादि)।
वे अनुक्रम जो एक पट से शुरू होते हैं और HH के साथ समाप्त होते हैं (जैसे THH, THTHH, THTHTHH, इत्यादि)।

दोनों प्रकार के अनुक्रमों के परिणामस्वरूप प्रयोग समाप्त हो जाएगा, इसलिए हमें अपनी अंतिम प्रायिकता गणना में दोनों पर विचार करने की आवश्यकता है।

परिदृश्य 1: H से शुरू होने वाले अनुक्रम

सबसे सरल अनुक्रम है तुरंत HH प्राप्त करना। इस घटना की प्रायिकता $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ है।

अगला अनुक्रम है एक चित, फिर एक पट, और फिर HH प्राप्त करना (अर्थात्, HTHH)। इस अनुक्रम की प्रायिकता $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{81}$ है।

हम इन अनुक्रमों में एक प्रतिरूप देख सकते हैं। इस परिदृश्य में प्रत्येक अनुक्रम को एक चित प्राप्त करने, उसके बाद कुछ संख्या में "पट, चित" युग्म, और HH के साथ समाप्त होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

अतः, इस परिदृश्य में अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं, जहां क्रमागत पदों के बीच अनुपात $r = P(HT) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ है।

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग सूत्र $\frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है, जहां $a$ श्रेणी का प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।

इस परिदृश्य में, प्रथम पद तुरंत HH प्राप्त करने की प्रायिकता है, जो $\frac{1}{9}$ है। अतः, इस श्रेणी का योग है:

$$S_1 = \frac{1/9}{1 - 2/9} = \frac{1/9}{7/9} = \frac{1}{7}.$$

परिदृश्य 2: T से शुरू होने वाले अनुक्रम

इस परिदृश्य में, हम पहले एक पट प्राप्त करते हैं, और फिर हम पहले परिदृश्य के समान प्रतिरूप का अनुसरण करते हैं।

सबसे सरल अनुक्रम THH है, जिसकी प्रायिकता $\frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{27}$ है।

अगला अनुक्रम है एक पट, एक चित, एक और पट, और फिर HH प्राप्त करना (अर्थात्, THTHH)। इस अनुक्रम की प्रायिकता $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{243}$ है।

पहले की तरह, ये अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं, जिसमें क्रमागत पदों के बीच अनुपात $r = P(TH) = \frac{2}{9}$ है।

इस परिदृश्य में, प्रथम पद THH प्राप्त करने की प्रायिकता है, जो $\frac{2}{27}$ है। अतः, इस श्रेणी का योग है:

$$S_2 = \frac{2/27}{1 - 2/9} = \frac{2/27}{7/9} = \frac{2}{21}.$$

अंत में, लगातार दो चित के साथ प्रयोग समाप्त होने की कुल प्रायिकता की गणना करने के लिए, हमें दोनों परिदृश्यों में गणना की गई प्रायिकताओं को जोड़ना होगा:

$$P(\text{HH}) = S_1 + S_2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{21} = \frac{5}{21}.$$

अतः, समस्या का उत्तर $\frac{5}{21}$ है (विकल्प B)।

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